如何在数学解题教学中渗透数学思想

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一、数学思想方法教学与能力的关系

思想方法就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，一再被证明为正确、可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。数学思想方法，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识。所以，数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。数学思想和数学方法是紧密联系的，一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。

数学思想方法是形成学生的良好的认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。中学数学教学大纲中明确指出：数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法。数学思想和方法纳入基础知识范畴，足见数学思想方法的教学问题已引起教育部门的重视，也体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。这不仅是加强数学素养培养的一项举措，也是数学基础教育现代化进程的必然与要求。这是因为数学的现代化教学，是要把数学基础教育建立在现代数学的思想基础上，并使用现代数学的方法和语言。因此，探讨数学思想方法教学的

一系列问题，已成为数学现代教育研究中的一项重要课题。

从心理发展规律看，初中学生的思维是以形式思维为主向辨证思维过渡，高中学生的思维则是辨证思维的形成。进行数学思想方法教学，不仅有助于学生从形式思维向辩证思维过渡，而且是形成和发展学生辩证思维的重要途径。

从认知心理学角度看，数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程，这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的。所谓同化，就是主体把新的数学学习内容纳入到自身原有的认知结构中去，把新的数学材料进行加工改造，使之与原教学学习认知结构相适应。所谓顺应，是指主体原有的数学认识结构不能有效地同化新的学习材料时，主体调整成改造原来的数学内部结构去适应新的学习材料．在同化中，数学基础知识不具备思维特点和能动性，不能指导“加工”过程的进行。而心理成份只给主体提供愿望和动机，提供主体认知特点，仅凭它也不能实现“加工”过程。数学思想方法不仅提供思维策略(设计思想)，而且还提供实施目标的具体手段(解题方法)。实际上数学中的转化、化归就是实现新旧知识的同化。与同化一样，顺应也在数学思想方法的指导下进行。积极进行数学思想方法教学，将极大地促进学生的数学认知结构的发展与完善。

从学习迁移看，数学思想方法有利于学生学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以极大地提高学习质量和数学能力。布鲁纳认为

“学习基本原理的目的，就在于促进记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想方法作为数学学科的“一般原理”，在教学中是至关重要的，因此，对于中学生，不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学思想方法将随时随地发生作用，使他们受益终生。

二、数学思想方法的教学原理

数学思想方法的教学原理是说明数学思想方法的教学规律的。中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的，大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，并没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。进行数学思想方法的教学，必须在实践中探索规律，以构成数学思想方法教学的指导原则。数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。一般来说，应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则．它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。

现代教育技术在小学数学中的应用

如果说数学起源于人类生存的需要，或者起源于人类理智探索真理的需要，那么数学思想方法就是伴随着数学的产生而产生，伴随着数学的发展而发展的，它不仅是数学的精髓，也是数学教学的灵魂，更是体现数学本质的重要方面和评价数学教学的主要依据。因此，在小学数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，会有利于教师深刻地认识数学内容，有利于增强学生的数学观念和数学意识，形成学生良好的思维品质。下面从教学过程的角度关注数学思想方法，来交流自己一些不成熟、不全面的认识和看法。

1.在知识的呈现过程中，适时渗透数学思想方法

对于数学而言，知识的发生过程，实际上也就是思想方法的发生过程。因此，象概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程等等，都蕴含着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。对于学生来说，最常见的困难之源是：一项工作、一个发现、一个规律、……很少以创始人当初所用的形式出现，它们已经被浓缩了，隐去了曲折、复杂的思维过程，呈现出整理加工的严密、抽象、精炼的结论，而导致其诞生的那些思想方法却往往隐为内在形式，成为数学结构系统的具有潜在价值的“内河流”。我们教学工作的一项重要任务，就是揭开数学这种严谨、抽象的面纱，将发现过程中的活生生的教学“反朴归真”地交给学生，让学生亲自参与“知识再发现”的过程，经历探索过程的磨砺，汲取更多的思维营养。例如，在教学圆的面积时，先引导学生回忆以往在推导平行四边形、三角形、梯形等图形面积计算时的方法，再把圆转化成长方形，进而推导出圆的面积计算公式。我们从方法人手，将待解决的问题，通过某种途径进行转化，归纳成已解决或易解决的问题，最终使原问题得到解决。这样的教学活动让学生经历了知识的形成过程，渗透了化归、极限的数学思想，为后继学习起到了非常重要的作用。

2.在解题思路的探索中，恰当渗透数学思想方法

课堂教学中，学生是学习的主人。在学习过程中，要引导学生积极主动地参与，亲自去发现问题、解决问题、掌握方法，其实，对于数学思想方法的学习也不例外，在数学教学中，解题思路的探索过程是最基本的活动形式之一，数学问题的解答过程是对数学思想方法亲身体验和获得的过程，也是通过运用对其加深认识和理解的过程。例如，在解决“鸡兔同笼”问题时，学生初读题目，有些无从下手。这时就需要教师引导学生用容易探究的小数量代替《孙子算经》原题中的大数量让学生探究整理，渗透了转化的思想方法；用列表法解决问题，渗透了函数的思想方法；用算术法解决问题，渗透了假设的思想方法；用方程法解决问题，渗透了代数的思想方法；在梳理方法时，利用课件出示简笔画，帮助学生理解各种算法等，渗透了数形结合的思想方法，这样将数学思想方法的渗透和知识教学紧密地结合，帮助学生掌握正确的解题方法，提高发散思维能力。

3.在实际问题的解决中，灵活渗透数学思想方法

解题是数学的心脏，学生不仅通过解题掌握和巩固数学基础知识，而且由于数学解题重在解题的整个过程，所以还能培养和发展学生的数学能力，而教师应对学生的解题活动加以指导，不能为了解题而解题，而忽视对思维过程的展示，要在解题过程中揭示后续解题活动中解决类似问题的通用思想方法。因此，加强数学应用意识，鼓励学生运用数学思想方法去分析解决生活实际问题，引导学生抽象、概括、建立数学模型，探求问题解决的方法，使学生把实际问题抽象成数学问题，在应用数学知识解决实际问题的过程中进一步渗透和领悟数学思想方法。例如，客车和货车同时从甲、乙两镇的中点向相反的方向行驶。3小时后客车到达甲镇，而货车离乙镇还有30千米。已知货车的速度是客车的3／4，求甲、乙两镇相距多少千米?分析：由题意知，客车3小时行完全程一半，货车3小时行完全程的一半少30千米。如设甲乙两镇相距z千米，依据“货车的速度是客车的3／4”，可得方程：多数学生都选用了这种方法。教学时不能停留在此，继续引导学生变换一种方式思考：将已知条件“货车的速度是客车的3／4”改变一种叙述方式“货车与客车的速度比是3：4”，因行车时间相同，所以货车与客车所行路程比是3：4，即货车行3份，客车行了4份，货车比客车少行1份少行30千米，因此易知客车行了4份行了120千米，货车行了90千米，甲乙两镇相距240千米。这样，通过转化，使学生体会到分数应用题也可采用整数解法，即可采用比例应用题的方法进行解答，从而巩固与提高学生解答分数应用题的能力，更重要的是让学生感受到转化的方法能变繁为简、化难为易，有助于培养思维的灵活性，克服思维的呆板性。实际上，在数学解题中经常用到的还有诸如数形结合、化归、符号化等思想方法，恰当运用这些思想方法不仅能提高解题效率，还能激发学生强烈的求知欲与创造精神。

总之，在教学过程中，加强数学思想方法的渗透，在知识的呈现过程中，

如何培养数形结合 数学思想方法

1现代教育技术在小学数学教学里的运用

1．1直观形象理解易懂：光依靠死记硬背是不可能学好数学也不可能进行好数学的教学工作的，只有真正的理解了知识点才能举一反三的灵活应用。运动现代多媒体技术，可以加深对新知识点的理解能力，画龙点睛。例如（1）原来小学数学教学加减法都是老师在黑板上运用算式的形式进行教学，比如19减5，光靠算式同学一般只能技术19减5等于14，换个数字又不会算了。这就需要运用到现代的多媒体技术，可以以动画的形式来讲解，把数字变成图画，既不枯燥又简单易懂。

1．2激发兴趣创设情境：兴趣是孩子最好的老师，“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，这是孔子的至理名言，可见激发起孩子学习数学的兴趣是多么重要的事情。利用现代的多媒体教学就能是老师静态的教学内容转化为动态，特别是针对年纪尚小的小学生来说，大大激发了学习数学的兴趣。使学生更为主动地学习数学。例如（2）《位置与方向》。年纪尚小的小学生对东南西北的概念很模糊，只能死记硬背上北下南左西右东，一旦换个朝向就又是竹篮打水一场空。《位置与方向》原是讲述运动员越野跑判断方向的介绍，只有几张插图，小学生真的很难理解。但是运用到多媒体技术后能把越野跑的过程立体化，人物动作立体化，就能使学生像在看动画片一样想要了解其中的方向，激发了学生兴趣，事半功倍。

2现代教育技术在小学数学复习、练习课的应用

2．1激发兴趣，趣化内容：练习课以及课后期末的复习一般没有老师的讲解就变得更为枯燥无聊。特别是针对学习成绩不理想的同学让他们只能就事论事，无暇顾及有效地反省；也会使学习好的学生长久地停留在此阶段，客观上延缓了上升的速度。它剥夺了学生独立思考，自由发挥的机会。而多媒体教学，则可以穿插一些有趣的活动，激发学生的兴趣。例如（3）《20以内的退位减法复习》在原先的教育过程中，总是让学生做很多很多练习题进行题海战术，造成了训练过度，大大打消了学习数学的积极性。运用现代的多媒体技术可以将题目趣化分为菠萝组、香蕉组、荔枝组等等，建立一定的比赛机制，然后再在多媒体上进行比赛的演示及比赛信息的反馈，对于比赛成绩差的组别多鼓励，对比赛成绩好的多奖励，这样就不会使同学有太大的心理反差，能很好地完成复习任务。

2．2加大容量，节约时间：随着遗忘时间的延长，在进行复习的时候往往有些知识点都已经记忆模糊了甚至忘却了，再加之复习时需要巩固的知识点又比较多，这就需要适当的延长教学时间来进行知识点印象的加深。传统教学模式下一般都是采用减少教学内容增加教学时间来完成复习任务，而采用多媒体可以很好的完成上述目标，事半功倍。例如（4）《运算定律与简便计算复习》传统的教学方法就是让同学们反反复复的记概念公式，而多媒体只需要很短的时间就能把公式概念等显示出来，加上一些易懂的批注就能很快达到完成复习目标的任务。

3现代教育技术在小学数学活动中的运用

活动课是在教师的指导下，通过学生的自主活动，从学生的活动经验出发，突破传统的课堂教学形式。在“玩”中“学”，“学”中“玩”，以获得直接经验和提高实践能力为主的课程。数学活动课，它能使每个学生都参与，都能最大限度开发智力。再现声形生动形象：图文并茂是现代多媒体教育的优势，可以讲原本教学模式中的不能很好展示的内容通过图画直观的展示给学习者。例如（5）《图形的拼组》在小学数学教学里有各种各样的图形，比如三角形、四边形、圆形等。但是仅仅只给学生看图不能很好的引发学生的想象力。这就可以利用利用投影仪等将图形投射到大屏幕上，再让学生进行一系列的组合，可以让学生把图形组合成车子、房子等等，这样能充分的训练学生的想象力和动手操作的能力，也能培养学生的创新能力。

4现代教育技术运用多媒体在小学数学教学中的运用

4．1引导学生主动参与学习：多媒体教学改变了很多传统教育模式的弊端，传统教学由于媒体单一，只能教师讲，学生听，以教为主，就导致了很多学生不像学习。多媒体教学充分调动学生的各种感官，主动参与学习的全过程。例如，我在教学“时．分的认识”时，让学生每人准备一个小钟表，通过自己拔时，知道1时＝60分，1分＝60秒，初步建立时间观念。

4．2很好的激发学生兴趣：“兴趣是最好的老师”是爱因斯坦的名言，多媒体教学可以利用各种教具、学具、投影、录像、录音等媒体，集光、形、色于一体，直观形象，新颖生动，能够直接作用于学生的多种感官，大大的激发学生的学习兴趣。总结：现代教育技术已经开始融入进了小学数学的的教育，能很好的开发学生的发散性思维，能提高学生的创新能力和学习能力。大大提高学生的课堂学习效率。作为一名教育工作者，要紧紧把握住这一很好的机会，满足新的教学大纲的需求。我们需要根据具体的教学内容充分利用各种媒体的有机结合，来有效的调动学生的学习兴趣，不断提高数学课堂教学的效率。

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有：数形结合、集合、对应、分类、函数、极限、化归、归纳、符号化、数学建模、统计、假设、代换、比较、可逆等思想方法。教学中，要明确渗透数学思想方法的意义，认识数学思想方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生。

下面我就如何向学生渗透这些数学思想方法分别举例说明一下。

一、数形结合思想方法

1.先形后数。一年级的小学生刚开始学习数学，是从具体的物体开始认数，从具体形象到抽象。

2.先数后形。如教学排队问题：一年级小同学排队做操，从前往后数，小明排第5，从后往前，小明排第4，这一对共有几人？小同学很容易地将4与5相加，得出错误的结果。如果让学生用画图的方法解答，用“△”代表排队的小朋友，这道题很容易解决。

二、对应思想

例如，求一个数比另一个数多（少）几的应用题的数量关系。对二年级学生来说较为抽象。我是这样设计的：苹果有8个，梨有6个，苹果比梨多几个？学生通过用○、△等学具代替苹果、梨摆一摆，或用画一画的方法得到了解决。

再如，数轴上的点与实数之间的一一对应等把抽象内容的数量关系视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显。同时，鼓励了学生的创新，使学生乐于参与这样的数学活动。

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